Klasszikus és lineáris algebra

Ez a tankönyv az Eötvös Loránd Tudományegyetem matematikus szakos hallgatóinak algebra előadásához kapcsolódik. Célja az egyetemi előadások kiegészítése és a tanulás megkönnyítése. Nem célja azonban, és nem is lehet célja, hogy az előadások vagy a gyakorlatok látogatását feleslegessé tegye. Annál is inkább nem, mert az előadó személyének változtatása, sőt még az idő múlása is óhatatlanul változásokat, hullámzást okoz az anyag felépítésében is. Ez természetes folyamat, mert a fejlődésnek az előadásokra is ki kell hatnia. Ennek következményeként - vagy akár valamilyen apróbb cél kidomborítása végett - a felhasznált bizonyítások is változatnak. Azt pedig nem lehet elvárni, hogy a könyv az összes lehetséges bizonyítást tartalmazza minden egyes tétel esetében. Éppen ezért a könyv csak egyetlen felépítési lehetőséget tárgyal; azt, amelyik - véleményem szerint - legjobban idomul az előadások mostani felépítéséhez. A könyv két részre tagolható. Az első rész - az elemi algebra - lényegében a klasszikus algebrai alapismereteket tárgyalja. Az itt szereplő matematikai objektumok alig mennek túl a középiskolai algebra anyagon. A tárgyalásmód azonban attól teljesen eltérő. Arra törekedtem, hogy az elemi algebrát is minél modernebb felfogásban, minél korszerűbb módszerek felhasználásával írjam meg. Ezzel egyrészt azt akartam elérni, hogy az ismert anyagot is más felfogásban találja itt meg az olvasó; másrészt ez előkészületül is szolgál a következő absztraktabb tárgyalásmódhoz. Ebben a részben nem szerepelnek feladatok. Az elemi algebrai feladatok témája ugyanis a tárgyalásmódtól eléggé független; és így lényegében bármely elemi algebrai feladatgyűjteményből választhatunk feladatokat.

TARTALOM
Előszó 9
ELEMI ALGEBRA
A komplex számok
A valós számok algebrai áttekintése 13
A komplex számok bevezetése 21
A komplex számok geometriai bevezetése 29
A komplex számok trigonometrikus alakja 34
Mátrixok
A mátrix definíciója 42
Műveletek mátrixokkal 44
Permutációk 50
A determináns 53
A determináns kifejtése 59
Speciális mátrixok 61
Egyhatározatlanú polinomok
Az egyhatározatlanú polinomok fogalma 66
Maradékos osztás és oszthatóság 71
Polinomideálok és legnagy közös osztó 75
Polinomok egyértelmű felbontása irreducibilis faktorokra 79
Polinomok kompozíciója, behelyettesítés 80
Polinomfüggvény, interpoláció 85
Polinomok gyökeinek a meghatározása 87
Az algebra alaptételének ekvivalens alakjai 94
Racionális és egész együtthatós polinomok 99
Többhatározatlanú polinomok
A többhatározatlanú polinomok fogalma 105
Kompozíció, maradékos osztás, oszthatóság többhatározatlanú polinomokra 110
Egyhatározatlanú polinomok deriváltja és többszörös gyökei 114
Szimmetrikus és alternáló polinomok 119
Lineáris egyenletrendszerek megoldása 127
LINEÁRIS ALGEBRA
Vektorterek
A vektortér fogalma 131
Lineáris kombináció és lineáris függés 136
Vektortér-konstrukciók I. (Alterek) 138
Vektortér-konstrukciók II. (Faktorterek) 138
Vektortér-konstrukciók III. (Direkt szorzat) 146
Vektorterek izomorfizmusa 149
Lineáris összefüggés és lineáris függetlenség 151
Dimenzió, véges dimenziós vektorterek 154
Lineáris leképezések
Homogén lineáris leképezések értelmezése 159
Lineáris leképezések elemi tulajdonságai 162
A lináris leképezések tere 167
Lineáris leképezések szorzása 169
Lineáris függvények és a duális tér 174
Koordinatizálás
Vektorok koordinátái és leképezések mátrixa 177
Áttérés új bázisra 181
Leképezés rangjának a meghatározása 182
Bilineáris függvények
Bilineáris leképezések 186
A tenzori szorzat 188
Bilineáris függvények mátrixa 193
Kvadratikus alakok a valós térben 195
Kvadratikus alakok négyzetösszeggé transzformálása 197
Bilineáris függvények a komplex térben 200
Euklideszi terek
A valós euklideszi tér 205
A valós euklideszi terek geometriája 208
Komplex euklideszi terek 212
Az euklideszi tér lineáris transzformációi
Lineáris transzformációk polinomja 214
Lineáris transzformációk invariáns alterei az eulideszi térben 216
Önadjungált és szimmetrikus transzformációk 218
Unitér és ortogonális transzformációk 220
Kvadratikus alakok az ekulideszi térben 225
A karakterisztikus polinom
A determináns 228
Polinommátrixok normálalakja, karakterisztikus polinom 233
A Jordan-féle normálalak 242
Mátrixok felhasználása
Lineáris egyenletrendszerek 254
Az inverz mátrix meghatározása 257
Kvadratikus alakok jellegének a megállapítása 260
Betűrendes mutató 265
Idegen nyelvű tartalomjegyzék 270